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Enoncé Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite $(-1)^n$? de la suite $\cos(n\pi/3)$? Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d'adhérence. Enoncé Soit $(u_n)$ une suite bornée de nombre réels. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $$x_n=\inf\{u_p;\ p\geq n\}\textrm{ et}y_n=\sup\{u_p;\ p\geq n\}. $$ Pourquoi les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont-elles bien définies? Déterminer les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ dans les cas suivants: $$\mathbf a. \ u_n=(-1)^n\quad \mathbf b. \ u_n=1-\frac1{n+1}. Suites de nombres réels exercices corrigés 2. $$ Démontrer que $(x_n)$ est croissante, que $(y_n)$ est décroissante. En déduire que ces deux suites sont convergentes. On notera $\alpha=\lim_{n\to+\infty} x_n$ et $\beta=\lim_{n\to+\infty}y_n$. Démontrer que $\alpha\leq \beta$. Démontrer que si $\alpha=\beta$, alors la suite $(u_n)$ converge. Démontrer que si $(u_n)$ admet une sous-suite convergeant vers un réel $\ell$, alors $\alpha\leq \ell\leq \beta$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $n\in\mathbb N$, il existe $p\geq n$ tel que $$y_n-\veps\leq u_p\leq y_n.
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On dit que l'ensemble des décimaux, et sont denses dans. Poursuivez vos révisions avec les chapitres suivants du programme de mathématiques en Maths Sup: ensembles et applications introduction aux fonctions fonctions usuelles primitives équations différentielles
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Vous voulez conserver une inégalité stricte par multiplication par un réel, ce nombre est-il strictement positif? Vous élevez une inégalité au carré: les deux nombres sont-ils positifs?. Démontrer une inégalité stricte demande en général plus de précautions que la démonstration d'une inégalité large. Inutile de vous compliquer la vie quand ce n'est pas indispensable, démontrer l'inégalité large si telle est la question!. Vous voulez majorer le réel positif. Exercices corrigés -Suites de nombres réels ou complexes - étude théorique. Prenez le temps de vérifier que puis cherchez tel que, alors. Un calcul de tête risque d'être faux et ne sera jamais justifié! Vous voulez prouver que. ⚠️: Si vous partez de l'inégalité pour arriver par des implications ou sans faire apparaître le type de raisonnement à une inégalité vraie, vous n'aurez pas prouvé que. Il est indispensable dans ce type de raisonnement de mettre en évidence un raisonnement correct par équivalen- ce pour arriver à une propriété vraie pour tout. ⚠️ faute: ne faites pas de différence d'inégalités! si vous avez et, vous pouvez conclure que et surtout pas!
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On note.. Vrai ou Faux? Correction: est une partie bornée non vide de. On peut introduire et., on écrit avec, donc et alors. est une partie bornée non vide de admettant pour minorant et pour majorant. donc et. soit et. Puis en introduisant, le raisonnement précédent donne en échangeant et, Soit et. Par double inégalité, Exercice 5 Soient et deux parties non vides et bornées de. Question 1 est bornée On introduit, et,. est une partie bornée non vide, donc et existent et on a prouvé que et. Exercice 5 (suite) Question 2 Exprimer en fonction de et. Correction:, et On a vu que., donc est un majorant de, alors. donc est un majorant de, alors. Donc. Exercice 5 suite Question 3 On a déjà prouvé que., donc est un minorant de, alors. donc est un minorant de, alors. Suites de nombres réels exercices corrigés enam. 4. Inégalité de Cauchy-Schwarz On suppose que et que et sont deux familles de réels. Soit et En développant, montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz: Expression que l'on écrit sous la forme. On doit avoir pour tout réel,. Si, comme somme nulle de réels positifs ou nuls, on en déduit que et l'inégalité est évidente, car elle s'écrit.
Exercices. 1). Utiliser les propriétés des puissances de manière à calculer l'expression...... Actimath2 chapitre 7: Les produits remarquables. Remédiation - Propriétés des puissances (exercices numériques) 3" Chapitre 2 - Les transformations au pian7 ' ' '... 6 /. V. 5} Dètomine l'image du point M parla G} Détermine l'image du point G parla rotation de contre P et... Page 1 ¡¢¤¦ ¤ "# '&%$! "# I) TP: combustion de l'éthanol II... (1) En utilisant les données de l' exercice précédent donner la masse molaire de... p espèces chimiques, que vaut la somme de toutes les fractions massiques? (4) Si le... La réaction est totale et peut se modéliser par l'équation bilan suivante:. I. Suites de nombres réels exercices corrigés du bac. Nombre dérivé et tangente II. Fonction dérivée et fonction de... Ce nombre L est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f? (a). Ainsi, on.... Exercice 1. Calculer... tangente est parallèle à la droite d'équation y =? 2x + 1. Première S - Nombre dérivé et tangente - Parfenoff. org Nombre dérivé et tangente. I) Interprétation graphique.
$$ Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $p_0\in\mathbb N$, il existe $p\geq p_0$ tel que $$\beta-2\veps\leq u_p\leq \beta+2\veps. $$ En déduire qu'il existe une sous-suite de $(u_n)$ qui converge vers $\beta$. Quel théorème vient-on de redémontrer? Montrer qu'une suite $(u_n)$ de réels ne tend pas vers $+\infty$ si et seulement si on peut en extraire une suite majorée. Montrer que, de toute suite $(q_n)$ d'entiers naturels qui ne tend pas vers $+\infty$, on peut extraire une suite constante. Soit $x$ un irrationnel et $(r_n)$ une suite de rationnels convergeant vers $x$. Pour tout entier $n$, on écrit $r_n=\frac{p_n}{q_n}$ avec $p_n\in\mathbb Z$ et $q_n\in\mathbb N^*$. Cours et méthodes - Nombres réels MPSI, PCSI, PTSI. Démontrer que $(q_n)$ tend vers $+\infty$. Enoncé Soit $(u_n)$ une suite de réels bornée. Démontrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence. Enoncé Soit $(u_n)$ une suite réelle. On dit que le réel $l$ est valeur d'adhérence de la suite s'il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui converge vers $l$.
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