Exercice Équation Du Second Degré Corrigé
Sommaire – Page 1ère Spé-Maths 5. 1. Qu'est-ce qu'un paramètre dans une équation? Définition 1. Soit $m$, un nombre réel et $(E)$ une équation du second degré dans $\R$. On dit que l'équation $(E)$ dépend du paramètre $m$ si et seulement si, les coefficients $a$, $b$ et $c$ dépendent de $m$. On note $a(m)$, $b(m)$ et $c(m)$ les expressions des coefficients en fonction de $m$. L'équation $(E)$ sera donc notée $(E_m)$ et peut s'écrire: $$(E_m):\quad a(m)x^2+b(m)x+c(m)=0$$ On obtient une infinité d'équations dépendant de $m$. Pour chaque valeur de $m$, on définit une équation $(E_m)$, sous réserve qu'elle existe. Méthodes Tout d'abord, on doit chercher l'ensemble des valeurs du paramètre $m$ pour lesquelles $(E_m)$ existe. $(E_m)$ existe si, et seulement si, $a(m)$, $b(m)$ et $c(m)$ existent. On exclut les valeurs interdites de $m$, pour lesquelles l'un au moins des coefficients n'existe pas. $(E_m)$ est une équation du second degré si, et seulement si, $a(m)\neq 0$. Si $a(m)=0$, pour une valeur $m_0$, on commence par résoudre ce premier cas particulier.
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Exercice Équation Du Second Degrés
C'est une équation de la forme ax²+bx+c=0 (avec a non nul) Pour pouvoir résoudre une telle équation, il faut tout d'abord calculer le discriminant Δ. Pour le calculer, c'est facile, il suffit d'appliquer cette formule: Δ = b² - 4ac On le calcule. Ensuite, selon le résultat, on va pouvoir connaître le nombre de solutions qu'il y a, et les trouver s'il y en a. Si Δ < 0, rien de plus simple: il n'y a pas de solution. Si Δ = 0, il y a une seule solution à l'équation: c'est x= -b/(2a) Si Δ > 0 il y a deux solutions qui sont x1 = (-b-√Δ)/(2a) et x2= (-b+√Δ)/(2a) Désormais, il est possible pour vous de résoudre une équation du second degré. POUR L'EXERCICE: RESOUDRE LES EQUATIONS ET TROUVER X S'il y a 2 solutions, marquez comme ceci séparé d'un point-virgule: 1;2 ( toujours la solution la plus petite en premier). Toutes les équations ne sont pas sous la forme générale d'une équation du second degré; il faudra éventuellement faire quelques opérations élémentaires sur les égalités pour s'y ramener.
Exercice Équation Du Second Degré
Si $a(m)\neq 0$, alors $(E_m)$ est une équation du second degré. On calcule le discriminant $\Delta_m$ qui lui aussi dépend de $m$. $$\Delta_m =b(m)^2-4a(m)c(m)$$ Ici commence l'étude dans l'étude: Il faut maintenant chercher, pour quelles valeurs de $m$, on a: $\Delta_m=0$ et étudier le signe de $\Delta_m$. Ensuite, on ouvre une discussion suivant les valeurs et le signe de $\Delta_m$ pour déterminer le nombre de solutions ou le calcul de ces solutions en fonction de $m$. 5. 2 Exemples Exercice résolu. Pour tout $m\in\R$, on considère l'équation suivante: $$ (E_m):\; (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$$ 1°) Étudier suivant les valeurs de $m$, l'existence de solutions de l'équation $(E_m)$. 2°) Calculez les solutions de l'équation $(E_m)$, lorsqu'elles existent, suivant les valeurs de $m$. Corrigé. 1°) Étude suivant les valeurs de $m$, de l'existence de solutions de l'équation $(E_m)$. $$ (E_m):\; (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$$ L'inconnue est $x$, Il n'y a aucune valeur interdite. Donc, le domaine de définition de l'équation $(E_m)$ est: $D_m=\R$.Exercice De Math Équation Du Second Degré
}\\ \end{array}\quad} $$ 2°) Calcul des solutions suivant les valeurs de $m$. 1er cas: $m=4$. $E_4$ est une équation du premier degré qui admet une seule solution: $$\color{red}{ {\cal S_4}=\left\{\dfrac{3}{4} \right\}}$$ 2ème cas: $m=0$, alors $\Delta_0=0$. L'équation $E_0$ admet une solution double: $$x_0=-\dfrac{b(0)}{2a(0)}$$ Donc: $x_0 =\dfrac{2(0-2)}{2(0-4)}=\dfrac{-4}{-8}$. D'où: $x_0=\dfrac{1}{2}$. Donc: $$\color{red}{ {\cal S_0}=\left\{\dfrac{1}{2} \right\}}$$ 3ème cas: $m>0$ et $m\neq 4$, alors $\Delta_m>0$: l'équation $E_m$ admet deux solutions réelles distinctes: $x_{1, m}=\dfrac{-b(m)-\sqrt{\Delta_m}}{2a(m)}$ et $x_{2, m}=\dfrac{-b(m)+\sqrt{\Delta_m}}{2a(m)}$ En remplaçant ces expressions par leurs valeurs en fonction de $m$, on obtient après simplification: $x_{1, m}=\dfrac{2(m-2)-\sqrt{4m}}{2(m-4)}$ et $ x_{2, m}=\dfrac{2(m-2)+\sqrt{4m}}{2(m-4)}$. Ce qui donne, après simplification: $x_{1, m}=\dfrac{m-2-\sqrt{m}}{m-4}$ et $ x_{2, m}=\dfrac{m-2+\sqrt{m}}{m-4}$. $$\color{red}{ {\cal S_m}=\left\{ \dfrac{m-2-\sqrt{m}}{m-4}; \dfrac{m-2+\sqrt{m}}{m-4} \right\}}$$ 4ème cas: $m<0$, alors $\Delta_m<0$: l'équation $E_m$ n'admet aucune solution réelle.
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Donc: $$\color{red}{ {\cal S_m}=\emptyset}$$ < PRÉCÉDENT$\quad$SUIVANT >
Équation Du Second Degré Exercice
\(Δ = b^2-4ac=1\) Le discriminant Δ est strictement positif, l'équation \(3x^2-5x+2=0\) admet deux solutions. Solution 1: \(x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\dfrac{5-1}{6}= \dfrac{2}{3}\) Solution 2: \(x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\dfrac{5+1}{6}= 1\) Et donne la factorisation: le trinôme admet comme factorisation \(3(x-\dfrac{2}{3})(x-1)\). Commentaires: Avant tout, merci pour tous ces outils. Je voulais simplement faire remarquer que le solveur d'équations du second degré ne simplifie pas les fractions qu'il donne en résultat. (Par ex: avec x^2 - 6x -1 = 0). Je trouve cela curieux, d'autant que le programme qui inverse les matrices le fait très bien (il fait bien la division par det A)... et ça m'a l'air moins facile. Le 2013-10-25 Réponse: Merci de vos encouragements. En effet, il faudrait pour cela inclure les fonctions réduisant les racines dans cette page, ce qui alourdirait vraiment le script. Néanmoins, suite à votre remarque, j'ai amélioré le programme. Vous pouvez dorénavant entrer des fractions sous la forme "3/4" comme coefficient et, si le discriminant est nul ou un carré parfait, les solutions sont alors données sous forme de fractions irréductibles.
Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation suivante? 3x^2-15x+18 = 0 S = \{ 2;3\} S = \{ −2;−3\} S =\varnothing S = \{ 0\} Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation suivante? x^2-9x+20 = 0 S = \{ 4;5\} S = \{ −4;5\} S =\varnothing S = \{ 0\} Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation suivante? x^2-x-42 = 0 S = \{ −6;7\} S = \{ 6;7\} S =\varnothing S = \{ 0\} Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation suivante? x^2-4 = 0 S = \{ −2;2\} S = \{ 2\} S =\varnothing S = \{ 0\} Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation suivante? x^2-2x+1 = 0 S = \{ 1\} S = \{ −1;1\} S =\varnothing S = \{ 0\}